André-Marie Tremblay

1) Propriétés des systèmes électroniques fortement corrélés et supraconductivité

a) Problématique :

Les propriétés de la matière solide ou liquide dépendent des propriétés des atomes constituants, mais aussi de phénomènes plus subtils, dits collectifs. Par exemple, la résistivité d'un métal à la température de la pièce est déterminée par des interactions entre électrons et vibrations collectives (phonons) du réseau cristallin.

Un des phénomènes les plus remarquables en physique de la matière condensée (solide ou liquide) est celui de la supraconductivité. Dans cet état de la matière, les phénomènes propres à la théorie la plus fondamentale de la matière, la mécanique quantique, se manifestent à une échelle macroscopique: les courants électriques circulent sans résistance, et les champs magnétiques sont exclus, donnant lieu au phénomène de lévitation souvent illustré dans la presse populaire. La compréhension de ce phénomène collectif par Bardeen, Cooper et Schrieffer en 1957 fut un succès retentissant. La supraconductivité est tellement bien comprise qu'elle est maintenant utilisée pour caractériser d'autres propriétés des matériaux. Cet état de choses a subitement changé en 86-87 suite à la découverte de la supraconductivité à haute température. Ces températures, aux environs de 100K, ne sont hautes que par opposition à la vingtaine de degrés Kelvin connue auparavant comme la plus haute température à laquelle un matériau pouvait devenir supraconducteur. Les propriétés des matériaux à haute température de transition ne semblent pas être expliquées par les approches conventionnelles. Même pour un phénomène aussi banal que la dépendance en température de la résistivité au-dessus de la température de transition supraconductrice, les modèles habituels de la physique de la matière condensée semblent impuissants.

Un des modèles les plus susceptibles d'expliquer l'essentiel de la physique de ces nouveaux matériaux, ainsi que celle d'autres familles de solides de même type, est le modèle dit de Hubbard. Ce modèle inclut de la façon la plus simple possible la physique qui influence le comportement des électrons dans de tels systèmes, soit la présence d'un réseau cristallin et l'existence de répulsion entre lesdits électrons. Son importance va bien au-delà des supraconducteurs à haute température de transition. Malgré la simplicité du modèle, on s'attend quand même à ce que sa solution soit en accord au moins qualitatif avec les observations expérimentales sur les supraconducteurs à haute température de transition.

b) Objectifs :

Les objectifs larges de cette recherche sont d'obtenir des prédictions précises pour le modèle de Hubbard dans le régime de couplage intermédiaire en utilisant plusieurs approches complémentaires. Ensuite, nous désirons comparer ces prédictions avec l'expérience, et aussi avec d'autres approches théoriques plus phénoménologiques qui prétendent être réalistes. Il est possible que les comparaisons révèlent que le modèle de Hubbard n'explique pas les expériences! Éventuellement, il faudra proposer ou étudier d'autres modèles.

Comme sous-objectifs de cette recherche, mentionnons les améliorations méthodologiques apportées par l'étude de ce genre de problèmes. Plusieurs méthodes existent déjà, mais certaines d'entre elles sont nouvelles et ont encore besoin d'être vérifiées. Nous en avons développé une. Mentionnons aussi comme sous-objectif, l'étude des supraconducteurs organiques par des approches analogues. Il s'agit là d'une autre classe de matériaux pour laquelle la supraconductivité n'a pas d'origine généralement admise. L'expérience de deux de mes collègues (Bourbonnais et Caron) experts sur le sujet a déjà permis des collaborations fructueuses. De plus, il n'est pas rare de trouver dans la littérature des idées développées dans le contexte des supraconducteurs organiques s'appliquer aux supraconducteurs à haute température de transition et vice-versa.

c) Méthodologie :

Plusieurs méthodes analytiques ont été développées pour comprendre les systèmes fortement corrélés. Aux fonctions de Green des années 60 s'est ajouté le groupe de renormalisation dans les années 70, puis les méthodes de simulation numérique et les méthodes de type non-perturbatives (bosons esclaves et développements en 1/N) dans les années 80. Les méthodes numériques étaient d'abord assez limitées, mais grâce à des développements algorithmiques et à l'augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs, il est maintenant possible de faire des simulations fiables dans des régimes de paramètres intéressants. Nous avons développé des programmes de simulations numériques sophistiqués que nous mettons maintenant à profit pour réaliser nos objectifs. Il n'existe maintenant dans le monde qu'une dizaine de groupes qui ont développé cette expertise. Un ordinateur parallèle SP-2 est à notre disposition.

Nous avons aussi développé dernièrement une nouvelle approche non-perturbative qui permet d'obtenir des résultats analytiques supérieurs à ceux des autres approches lorsqu'on les compare aux simulations Monte Carlo. Notre approche en plus prédit des effets physiques nouveaux. Nous continuons de développer cette approche en plus de l'appliquer à différents problèmes.

d) Réalisations :

Nouvelle approche au problème à N-corps pour le modèle de Hubbard. Yury Vilk et moi-même avons développé une nouvelle approche au problème à N-corps pour les modèle à courte portée (modèle de Hubbard). Cette approche est basée sur la nécessité de satisfaire les lois de conservation, le principe de Pauli et plusieurs règles de somme importantes. Le théorème de Mermin-Wagner est satisfait en deux dimensions. L'effet des modes collectifs sur les propriétés à une particule est obtenu à l'aide d'une formule de type paramagnon qui est cohérente avec les propriétés à deux particules dans le sens quon obtient la même énergie potentielle peu importe le point de départ. Comme le théorème de Migdal ne s'applique pas pour les corrections de vertex, celles-ci sont incluses. La théorie est en accord quantitatif avec les simulations Monte Carlo. Les prédictions principales sont a) Un diagramme de phase magnétique où l'ordre persiste au-delà du demi-remplissage mais où le ferromagnétisme de Stoner est complètement absent. Les comportements critiques quantiques et classique renormalisés sont ceux du modèle sphérique. b) Dans le domaine classique renormalisé, les fluctuations de spin produisent des précurseurs des bandes antiferromatnétiques (bandes fantomes) et détruisent les quasiparticules du liquide de Fermi sur une grande plage de température au-dessus de la transition de phase à température nulle. Ce phénomène est illustré sur la figure par la section efficace de photoémission résolue en angule (Poids spectral). La dimension critique supérieure pour ce phénomène est trois. Les fluctuations de paire dans les modèles attractifs peuvent mener à des effets physiques analogues.

Pour lecteur averti: On voit ci-contre une représentation en diagrammes de Feynman des équations formellement exactes pour le problème a N-corps. Dans notre approche les lignes avec des flèches sont des propagateurs de particules libres alors que les boîte rouges, représentant des vertex irréductibles, sont approximés par des constantes dont la valeur est déterminée de telle sorte que le principe de Pauli local soit satisfait et que les équations pour les fluctuations de spin et de charge soient cohérentes avec les équations du mouvement.

La méthode que nous avons développée est la seule qui permet d'obtenir sans paramètre ajustable un bon estimé de la température critique et des fluctuations de spin pour le modèle de Hubbard bi-dimensionnel. Les quatre projets suivants sont des applications de notre méthode à l'étude des fluctuations de spin dans différents cas.

" Crossover " de deux à trois dimensions pour les antiferromagnétiques itinérants. Avec Yury Vilk et Anne-Marie Daré, nous avons montré comment se produit la transition de phase antiferromagnétique lorsqu'on permet des sauts interplans. Nous avons obtenu des expressions analytiques pour la valeur de la température de Néel ainsi que les exposants critiques, qui sont ceux du modèle sphérique. L'étroitesse de la région critique tridimensionnelle est frappante. Nous avons aussi montré que la transition de phase tri-dimensionnelle peut se produire dans un régime où du point de vue des propriétés à une particule le système est encore bi-dimensionnel. En particulier, il est possible que l'on soit dans le régime où il y a des précurseurs des bandes antiferromagnétiques. Ce travail, qui constitue une partie de la thèse de Anne-Marie Daré, a été rédigé cette année.

Modèle de Hubbard avec saut vers les deuxièmes voisins. Avec Alain Veilleux, nous avons développé des programmes Monte Carlo qui permettent d'étudier ce modèle avec saut au deuxième voisin. Nous avons pu vérifier que l'approche de Vilk, décrite ci-dessus, explique bien les fluctuations de spin et de charge. L'approche d'Anne-Marie Daré pour les fluctuations supraconductrices semble très bien fonctionner pour le modèle répulsif, sauf au voisinage de la singularité de Van Hove. Ce travail a fait l'objet de la maîtrise d'Alain Veilleux. Il a été publié récemment.

Résonnance magnétique nucléaire et diffusion neutronique dans le composé supraconducteur à haute température de transition La_2-xSr_xCuO₄. Avec Yury Vilk et Francis Jackson, dont ce travail constitue le projet de maîtrise, nous avons calculé les taux de relaxation nucléaire longitudinal 1/T₁ et transverses 1/T₂ . Hors du demi-remplissage, il semble que les fluctuations magnétiques du modèle de Hubbard soient trop fortes. Il est possible d'avoir un bon accord avec l'expérience seulement si phénoménologiquement on simule l'effet du désordre en empêchant la longueur de corrélation de croître. A demi-remplissage la situation est encore plus troublante. Dans ce domaine il est possible de comparer sur une plage d'environ 600K non-seulement avec la relaxation nucléaire mais aussi avec les expériences de diffusion neutronique. Anne-Marie Daré a fait des calculs pour cette dernière quantité et comparé aux autres approches théoriques pour la diffusion de neutrons. L'accord tant avec les neutrons qu'avec le 1/T₁ est excellent et même meilleur que ce qui est donné par les autres approches. Il semble cependant que le même ensemble de paramètres donne des résultats décevants pour le 1/T₂ . Nous croyons que notre modèle est en accord avec les résultats expérimentaux, particulièrement aux basses températures simplement parce qu'il a le bon comportement critique. Cependant, à plus haute température il y a un désaccored qui pourrait venir du fait que le comportement critique quantique n'apparaît pas à demi-remplissage dans notre approche. L'absence de comportement critique quantique pourrait être dû au fait que notre approche ne peut pas traiter la limite du couplage fort.

Diagramme de phase magnétique de la phase kappa du (BEDT-TTF)₂X. Il s'agit d'un nouveau projet pour la maîtrise de Stéphane Lessard, en coolaboration avec Claude Bourbonnais et Tim Ziman. Ces matériaux organiques ont une structure en couche et présentent de fortes corrélations. Ils ont ainsi plusieurs points en commun avec les supraconducteurs à haute température de telle sorte qu'il est probable que de nouvelles percées pourront être réalisées en jumelant leur étude à celle des supraconducteurs à haute température.

Notre approche permet aussi d'avoir accès aux propriétés à une particule. Nous utilisons cette approche dans trois projets entrepris depuis le dernier rapport.

Bandes de Hubbard et précurseurs des bandes antiferromagnétiques. Nous vérifions numériquement avec Steve Allen et Yury Vilk l'apparition conjointe des bandes de Hubbard et des précurseurs des bandes antiferromagnétiques afin de bien confirmer que notre approche prédit au moins qualitativement l'apparition simultanée de ces deux phénomènes.

Propriétés à une particule du modèle d'Anderson. Cette partie du projet de doctorat de François Lemay permettra de calibrer notre approche et peut-être de l'étendre au régime de couplage fort en comparant ses prédictions aux nombreux résultats connus dans ce domaine.

Pseudo-gap causé par les fluctuations de paires. Une partie du projet de doctorat de Steve Allen consiste à vérifier si le pseudo-gap et les précurseurs des bandes antiferromagnétiques trouvées dans le modèle répulsif ont des analogues dans le cas attractif. Bien qu'il y ait toutes les raisons de croire que c'est le cas, des simulations Monte Carlo basées sur les travaux de Hugo Touchette permettront de vérifier les calculs théoriques.

Projet Monte Carlo Nous continuons de développer cet outil précieux qui nous permet de constamment vérifier la validité de nos approches et d'explorer des domaines de paramètres inaccessibles aux méthodes analytiques. Il fallait faire des modifications importantes au programme pour pouvoir a) Le faire rouler sur l'ordinateur parallèle P-2, b) atteindre des basses températures c) calculer des quantités dynamiques. C'est ce qu'Hugo Touchette a fait durant deux stages en 1996. Celui-ci a aussi réalisé qu'il était devenu impératif de clarifier la structure du programme de base développé depuis plusieurs années, ce qu'il a fait en le réécrivant en Fortran 90. Liang Chen a contribué à cette entreprise lors d'un séjour de quelques semaines en 1996. Samuel Moukouri a supervisé et collaboré avec Hugo Touchette pour développer son propre programme de simulations Monte Carlo. Il a commencé la mise au point des programmes pouvant analyser les données Monte Carlo en temps imaginaire pour en extraire les propriétés en fréquence réelle.

Divers:

Instabilité des liquides de Luttinger couplés cinétiquement. Il est connu qu'en une dimension, les interactions changent dramatiquement les propriétés du gaz d'électrons en interaction. Il devient ce qu'on appelle un liquide de Luttinger. Or une controverse, générée par P.W. Anderson, existe présentement sur la stabilité du liquide de Luttinger. Anderson affirme que des propriétés importantes de ce "liquide", en particulier la séparation spin-charge, persistent à deux dimensions et est pertinente à la supraconductivité à haute température. En utilisant une nouvelle approche intégrale fonctionnelle développée par Bourbonnais, nous avons montré avec Daniel Boies que le liquide de Luttinger devient instable lorsqu'on permet les sauts interchaînes, même lorsque les vitesses de spin et de charge diffèrent. Des relations ont été établies pour les températures où le système devient instable, soit au niveau à une particule, soit au niveau à deux particules. Ceci a fait l'objet de la thèse en codirection de Daniel Boies. Cette année nous avons publié un article qui donnait plus de détails sur cette approche et qui faisait un peu plus de liens avec l'expérience. S. Pairault et D. Sénéchal travaillent présentement à des généralisations de la méthode développée dans ce contexte pour l'appliquer au modèle de Hubbard dans la limite de couplage très fort.

Multifractals Nous avons publié en 1995 une théorie des champs pour les multifractals qui illustre les idées du deuxième groupe de renormalisation développées avec B. Fourcade pour comprendre la présence d'un nombre infini d'exposants dans les circuits électriques près du seuil de percolation. Il s'agit là de la conclusion de plusieurs années de travaux dans un domaine dans lequel nous ne poursuivons plus de recherches.

e) Collaborateurs:

S. Allen (étudiant au 3^e cycle, début décembre 1995)
C. Bourbonnais (professeur)
Liang Chen (assistant de recherche et scientifique invité)
Anne-Marie Daré (Maître de conférences, Université de Provence, St-Charles)
B. Fourcade (Professeur, Magistère de Grenoble)
F. Jackson (étudiant au 2^e cycle, diplômé janvier 1997)
François Lemay (étudiant au 3^e cycle, début janvier 1996)
Stéphane Lessard (étudiant au 2^e cycle, début septembre 1996)
Samuel Moukouri (assistant de recherche, début septembre 1996)
D. Sénéchal (professeur)
Hugo Touchette (stagiaire de premier cycle: hiver 1996, été 1996)
Alain Veilleux (Diplômé 2^e cycle 1994)
Y. Vilk (Assistant de recherche. Argonne National Lab. depuis août 1995)
Tim. Ziman (Chercheur CNRS, Grenoble)

f) Summary :

We are studying the properties of models for strongly correlated electronic systems that are regarded as possible candidates for explaining high-temperature superconductivity as well as organic conductors.

With Yury Vilk, we have developed a new approach to the Hubbard model. It is based on enforcing conservation laws, the Pauli principle and a number of crucial sum-rules. More specifically, spin and charge susceptibilities are expressed, in a conserving approximation, as a function of two irreducible vertices whose values are found by imposing the local Pauli principle as well as the local-moment sum-rule and consistency with the equations of motion in a local-field approximation. The Mermin-Wagner theorem in two dimensions is automatically satisfied. The effect of collective modes on single-particle properties is then obtained by a paramagnon-like formula that is consistent with the two-particle properties. Since there is no Migdal theorem controlling the effect of spin and charge fluctuations on the self-energy, the required vertex corrections are included. It is shown that the theory is in quantitative agreement with Monte Carlo simulations for both single-particle and two-particle properties. The theory predicts a magnetic phase diagram where magnetic order persists away from half-filling but where ferromagnetism is completely suppressed. Both quantum-critical and renormalized-classical behavior can occur in certain parameter ranges. We have shown that in the renormalized classical regime, spin fluctuations lead to precursors of antiferromagnetic bands (shadow bands) and to the destruction of the Fermi-liquid quasiparticles in a wide temperature range above the zero-temperature phase transition. The upper critical dimension for this phenomenon is three. The analogous phenomenon of pairing pseudogap can occur in the attractive model in two dimensions when the pairing fluctuations become critical. Other approaches have been critically analyzed and compared with our approach.

Four projects have been completed or started using our approach to spin fluctuations. a) We have published our work on the effect of weak hopping in the third dimension to show that the exponents are those of the spherical model, that the three-dimensional critical regime is extremely narrow and that there is a regime where precursors of antiferromagnetic bands may appear in highly anisotropic materials. b) We have published our work on second-neighbor hopping. It shows amongst other things that our approach works in this case as well. c) We have compared the predictions of our approach with nuclear-magnetic resonance as well as neutron-scattering experiments on La_2-xSr_xCuO_4.. d) We have started a study the phase diagram of the organic compound (BEDT-TTF)₂X that has structural and electronic properties analogous to those of high-temperature superconductors.

Three projects that exploit the ability of our approach to calculate single-particle properties have been started. a) We numerically evaluate the self-energy in a regime where both precursors of antiferromagnetic bands and Hubbard bands should appear to clearly illustrate the difference between these two concepts. b) We compute the single-particle properties of the symmetric Anderson model to gauge our approach against other methods. c) We verify whether pairing fluctuations may lead to precursors of superconducting bands in the attractive Hubbard model, just as repulsive interactions lead to precursors of antiferromagnetic bands. In this project we use Monte Carlo methods.

We continually use and update Monte Carlo programs that allow us to gauge the validity of various approaches and to explore new regimes. We can now go to low temperatures and compute dynamical quantities. The program has also been rewritten in Fortran 90 and it runs on the SP-2 parallel computer. We are working on methods to extract real frequency properties from imaginary time data.

Finally, we have written up and published two works completed some time ago. A detailed study of one- and two-particle instabilities of Luttinger liquids coupled via weak interchain hopping and a field theory for multifractals in percolation.

Denière mise à jour, 3 mars 1997
Page maintenue par :Gilbert Vachon
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