Le modèle de Hubbard

Le modèle de Hubbard est un modèle simple visant à décrire des électrons en interaction mutuelle dans un solide cristallin. En fait, il ne s'agit pas d'un modèle unique, mais plutôt d'une famille de modèles, dans laquelle on peut faire varier la structure de bande des électrons, ou le nombre de bandes considérées.

Commençons par décrire de manière rudimentaire la théorie des bandes dans les solides. Cette théorie néglige l'interaction mutuelle des électrons. Chaque électron est considéré comme indépendant, et se déplace dans un réseau cristallin, c'est-à-dire un arrangement régulier d'ions positifs. L'électron est alors sous l'influence d'un potentiel périodique $V(\mathbf{r})$ et le théorème de Bloch s'applique: les états quantiques possibles sont caractérisés par un indice de bande discret $n$ et un vecteur d'onde $\mathbf{k}$: $|n,\mathbf{k}\rangle$. L'énergie associée $E_n(\mathbf{k})$ constitue ce qu'on appelle la relation de dispersion des électrons, qui dépend de l'indice $n$. Le spectre en énergie est formée de bandes qui peuvent se superposer partiellement ou non.

Dans cette approche, l'état fondamental d'un système de $N$ électrons est obtenu en peuplant les $N$ états ayant les énergies les plus basses. Les bandes d'énergie complètement occupées, si elles sont bien séparées du dernier niveau occupé (le niveau de Fermi), sont effectivement inertes et on peut se concentrer sur les états proche du niveau de Fermi. Supposons, pour simplifier, qu'une seule bande d'états est présente autour du niveau de Fermi et qu'elle n'est que partiellement remplie. Pour décrire cet ensemble d'états, on peut utiliser une base faite d'états localisés autour de chaque atome, un peu comme des orbitales atomiques. Chaque site du réseau cristallin est alors associé à un état de cette base, et on peut dire, avec un léger abus de langage, qu'un électron saute d'un site à l'autre quand il effectue une transition quantique d'un état de base à un autre. Cette approche est illustrée par la figure suivante:

Chaque site du réseau carré correspond à un atome, et plus précisément à un état de base localisé autour de cet atome. Cet état peut être occupé par un électron de spin up, un électron de spin down, deux électrons de spins opposés ou pas d'électrons du tout. Les électrons peuvent en outre sauter d'un site numéroté $i$ vers un site voisin, numéroté $j$, avec une certaine amplitude de probabilité notée $t_{ij}$. Enfin, le fait d'occuper un site donné par deux électrons de spins opposés ajoute une énergie $U$ au système, en raison de la répulsion électrique entre électrons. Bien sûr, cette répulsion existe aussi entre des électrons occupant des sites voisins ou plus éloignés, mais elle est moins forte que $U$ dans ce cas et est négligée dans le modèle de Hubbard.

On peut décrire ce modèle plus exactement dans le langage de la deuxième quantification. Si $c_{i\sigma}$ est un opérateur quantique qui fait passer l'occupation de l'état centré au site $i$ par un électron de spin $\sigma$ ($\uparrow$ ou $\downarrow$) de 1 à 0, et que $c_{i\sigma}^\dagger$ fait le contraire (de 0 à 1), alors le hamiltonien du modèle de Hubbard peut s'écrire ainsi:

$$ H = \sum_{i,j,\sigma} t_{ij} c_{i,\sigma}^\dagger c_{j,\sigma} + U \sum_i n_{i\uparrow}n_{i\downarrow} - \mu\sum_i (n_{i\uparrow}+n_{i\downarrow}) $$

($\mu$ est le potentiel chimique, un paramètre qui contrôle le nombre d'électrons dans le système). Le nombre d'électrons de spin $\sigma$ au site $i$ est

$$ n_{i\sigma} = c_{i,\sigma}^\dagger c_{i,\sigma} $$

L'énergie d'interaction $U$ n'a donc un effet que si deux électrons de spins opposés sont présents sur un même site.

Ce modèle, extrêmement simple à définir, est par contre extrêmement complexe à étudier. Il n'existe une solution analytique que dans le cas particulier d'une seule dimension d'espace, dans le cas où les électrons ne peuvent sauter que d'un site vers ses voisins immédiats, avec une amplitude $t$.

On peut facilement généraliser ce modèle en considérant plus d'une bande; on parle alors d'un modèle de Hubbard à 2 bandes, 3 bandes, etc. On peut également introduire une interaction entre des électrons situés sur des sites voisins; on parle alors d'un modèle de Hubbard étendu.