Le modèle de Hubbard: stratégies de solution

Comment faire des prédictions à l'aide du modèle de Hubbard? Il faut être en mesure de calculer, du moins approximativement, les valeurs moyennes de certaines observables physique dans ce modèle. Ces valeurs peuvent être thermodynamiques (donc à température non nulle), ou encore quantiques (à température nulle). Les stratégies de calcul sont différentes selon le cas.

À température nulle, ce sont les valeurs moyennes dans l'état fondamental qui nous intéressent. Comme la tâche est impossible à réaliser de manière analytique, on doit nécessairement avoir recours à des méthodes numériques. Une méthode de force brute consisterait à représenter le hamiltonien $H$ par une matrice et à calculer numériquement le vecteur propre associé à la valeur propre la plus basse. Le problème avec cette approche est que la dimension de cette matrice serait $d=4^L$, où $L$ est le nombre de sites. Or, même avec un système aussi petit que 32 sites, la mémoire requise pour stocker l'état fondamental en double précision serait de $2^{67}$ octets, soit plus de cent milliards de gigaoctets. Cette mémoire augmente exponentiellement avec le nombre de sites. Il faut donc oublier la méthode brutale sauf pour des systèmes relativement petits (en pratique 16 sites ou moins).

Il faut remarquer que la connaissance de l'état fondamental lui-même n'est pas vraiment requise. Ce sont les valeurs moyennes d'observables qui nous importent. La fonction d'onde de l'état fondamental contient en fait beaucoup trop d'information, comme on l'a vu ci-dessus. Il existe des objets mathématiques beaucoup plus simples qui contiennent l'information nécessaire: les fonctions de Green. Les méthodes numériques que nous utilisons sont en fait des méthodes de calcul approximatif des fonctions de Green.