Gaussienne à partir de la binomiale

Empiriquement : étalement de la binomiale

Comparer à la binomiale (Petites valeurs, M=10, puis plus grandes M=40 et M=160, facteur 4 chaque fois)

M=10;
p=0.2;
q=1-p;

Binomiale

B=Table[((M!)/(n!(M-n)!))(p^n) (q^(M-n)),{n,1,M}];

Valeur moyenne, Mp, et écart type, (Mpq^(1/□))

M p
Sqrt[M p (1-p)]

ListPlot[B,PlotStyle->PointSize[0.02`],BaseStyle->{FontFamily->"Times",FontSize->20},PlotRange->{{0,3 M p},{0,0.35`}}]

Analytiquement : Développement en série

Clear[M,n,p]

Formule de Stirling

Series[Log[M!],{M,∞,2}]

Vérification de la formule approximative: k!, Stirling, Erreur en pourcentage

Factorielle[m_]:=m!
Approx[m_]:=(Sqrt[2 π m])Exp[m Log[m]-m]
Verif=Table[{Factorielle[k],N[Approx[k]],(Factorielle[k]-N[Approx[k]])/Factorielle[k]*100},{k,1,20}]//MatrixForm

Fonction pour utiliser la formule de Stirling

St[m_]:=m*Log[m]-m

Log de la binomiale exprimé à l'aide de la formule de Stirling

LB[n]=St[M]-St[n]-St[M-n]+n Log[p]+(M-n) Log[1-p]

Dérivée première du log de la binomiale

D[LB[n],n]

Point où la dérivée première s'annule

Solve[D[LB[n],n]==0,n]

Valeur de la deuxième dérivée du log de la binomiale, évaluée à la position où la première dérivée s'annule

Der2[n]=D[D[LB[n],n],n]/.n->M p

Développement en série au deuxième ordre du logarithme de la binomiale, évalué à l'endroit où la première dérivée s'annule, soit Mp

Clear[M, n, p]
FullSimplify[Series[LB[n],{n,M p,2}], Assumptions->{M ∈ Integers, p ∈ Reals, p > 0, M > 0 }]

Développer jusqu’à l’ordre 3, {n,M,p,3} pour comprendre pourquoi il est justifié d’arrêter à l’ordre 2. Remarquez que cela justifie aussi pourquoi la distribution devient symétrique. Les termes qui donneraient une asymétrie (ordre 3 par exemple), décroissent avec  M. Dans le langage du groupe de renormalisation, ils sont non-pertinents.

Gaussienne vs binomiale

B= binomiale, G= Gaussienne. Commencer à M=10.

M=10;
p=0.2;
q=1-p;
B=Table[((M!)/(n!(M-n)!))(p^n) (q^(M-n)),{n,1,M}];
ListPlot[B,PlotStyle->PointSize[0.02`],BaseStyle->{FontFamily->"Times",FontSize->20}, PlotRange->Full]

M=10;
p=0.2;
q=1-p;
B=Table[((M!)/(n!(M-n)!))(p^n) (q^(M-n)),{n,1,M}];
G=Table[((1/(2 π M p q))^(1/2)) (E^( ((-(((n-M p))^2))/(2 M p q)))),{n,1,M}];ListPlot[{B,G},PlotStyle->PointSize[0.02`],BaseStyle->{FontFamily->"Times",FontSize->20},PlotRange->{{0, 3 M p},{0,0.5/ ((M p q)^(1/2))}}]

Pour illustrer la limite continue, prendre M=2000 et tracer entre {380, 420}

Passage à la limite, distribution fixe

Faire M=10,30,100,1000

M=10;
p=0.2;
q=1-p;
Bino[n_]:=((M!)/(n!(M-n)!))(p^n) (q^(M-n));
Gau[n_]:=((1/(2 π M p q))^(1/2)) (E^( ((-(((n-M p))^2))/(2 M p q))))
A=Table[{(((n-M p))/((M p q)^(1/2))),((2 π M p q)^(1/2)) Bino[n]},{n,0,M}];
AG=Table[{(((n-M p))/((M p q)^(1/2))),((2 π M p q)^(1/2))Gau[n]},{n,0,M}];
ListLinePlot[{A,AG},PlotRange->{{-5,5},{0,1}}]